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高考数学大一轮复*第六章数列6.3等比数列及其前n项和学案

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§6.3 等比数列及其前 n 项和 最新考纲 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通 项公式与前 n 项和公式. 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关 系,并能用有关知识解决相应的问题. 3.了解等比数列与指数函数的关系. 考情考向分析 以考查等比数列的通项、前 n 项和及性质为 主,等比数列的证明也是考查的热点.本节 内容在高考中既可以以选择题、填空题的形 式进行考查,也可以以解答题的形式进行考 查.解答题往往与等差数列、数列求和、不 等式等问题综合考查. 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个 数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q≠0). 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1·qn-1(a1≠0,q≠0). 3.等比中项 如果在 a 与 b 中插入一个数 G,使得 a,G,b Gb 成等比数列,那么根据等比数列的定义,a=G, G2=ab,G=± ab,称 G 为 a,b 的等比中项. 1 / 14 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*). (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak·al=am·an. (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),a1n,{a2n},{an·bn},abnn仍是等比 数列. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; 当 q≠1 时,Sn=a111--qqn=a11--aqnq. 6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其公比 为 qn. 知识拓展 等比数列{an}的单调性 (1)满足a1>0, q>1 或a1<0, 0<q<1 时,{an}是递增数列. (2)满足a1>0, 0<q<1 或a1<0, q>1 时,{an}是递减数列. (3)当a1≠0, q=1 时,{an}为常数列. (4)当 q<0 时,{an}为摆动数列. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足 an+1=qan(n∈N*,q 为常数)的数列{an}为等比数列.( × ) (2)G 为 a,b 的等比中项?G2=ab.( × ) (3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( × ) (4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( × ) (5)数列{an}的通项公式是 an=an,则其前 n 项和为 Sn=a11--aan.( × ) (6)数列{an}为等比数列,则 S4,S8-S4,S12-S8 成等比数列.( × ) 2 / 14 题组二 教材改编 2.[P51 例 3]已知{an}是等比数列,a2=2,a5=14,则公比 q=______. 答案 1 2 解析 由题意知 q3=aa52=18,∴q=12. 3.[P54A 组 T8]在 9 与 243 中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为 ________. 答案 27,81 解析 设该数列的公比为 q,由题意知, 243=9×q3,q3=27,∴q=3. ∴插入的两个数分别为 9×3=27,27×3=81. 题组三 易错自纠 4.若 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则a1-b2 a2的值为________. 答案 -12 解析 ∵1,a1,a2,4 成等差数列, ∴3(a2-a1)=4-1,∴a2-a1=1. 又∵1,b1,b2,b3,4 成等比数列,设其公比为 q,则 b22=1×4=4,且 b2=1×q2>0,∴b2=2, ∴a1-b2 a2=-ab2-2 a1=-12. 5.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则SS52=________. 答案 -11 解析 设等比数列{an}的公比为 q, ∵8a2+a5=0,∴8a1q+a1q4=0. ∴q3+8=0,∴q=-2, ∴SS52=a111--qq5·a111--qq2 =11--qq52=1-1--425=-11. 6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 1 KB,然后每 3 分钟自身复制一次,复 制后所占内存是原来的 2 倍,那么开机________分钟,该病毒占据内存 64 MB(1 MB=210 KB). 答案 48 解析 由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an},且 a1=2,q=2, 3 / 14 ∴an=2n, 则 2n=64×210=216,∴n=16. 即病毒共复制了 16 次. ∴所需时间为 16×3=48(分钟). 题型一 等比数列基本量的运算 1.(2018·开封质检)已知等比数列{an}满足 a1=14,a3a5=4(a4-1),则 a2 等于( ) 11 A.2 B.1 C.2 D.8 答案 C 解析 由{an}为等比数列,得 a3a5=a24, 又 a3a5=4(a4-1),所以 a24=4(a4-1), 解得 a4=2.设等比数列{an}的公比为 q, 则由 a4=a1q3,得 2=14q3,解得 q=2, 所以 a2=a1q=12.故选 C. 2.(2018·济宁模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3=52,a2+a4=54,则Sann= ________. 答案 2n-1 a1+a3=25, 解析 ∵ a2+a



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